Au programme, notamment :
- Loi normale centrée réduite
- Loi normale
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Pour préparer de jolis cours sur le sujet avec le tandem LATEX/ASYMPTOTE, signalons une fonction peut-être méconnue : erf.
Code : Tout sélectionner
// Notons F la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0,1)
// dont l'expression F(x) = 1/sqrt(2\pi) * (intégrale de -inf à x de exp(-t^{2}/2) dt)
// peut s'exprimer aussi à l'aide de la fonction d'erreur de Gauss, notée erf.
// erf(x) = 2/sqrt(\pi) * (intégrale de 0 à x de exp(-t^) dt)
// F(x) est la moyenne de 1 et erf(x/sqrt(2))
// ou encore : erf(x)= 2 F(x sqrt(2)) - 1
real F(real x){ return (1+erf(x/sqrt(2)))/2; }
real x=1.96;
write(F(x)); // donne 0.975 (0.97500210485178)
write(F(-x)); // donne 0.025 (0.0249978951482204)
write(F(x)-F(-x)); // donne 0.95 (0.950004209703559)
write(erf(x/sqrt(2))); // donne 0.95 (0.950004209703559)
real x=2.58;
write(F(x)); // donne 0.995 (0.950004209703559)
write(F(-x)); // donne 0.005 (0.00494001575777064)
write(F(x)-F(-x)); // donne 0.99 (0.990119968484459)
write(erf(x/sqrt(2))); // donne 0.99 (0.990119968484459)
On vérifie ci-dessus avec Asymptote les deux valeurs de
![u_{\alpha} u_{\alpha}](/forum/latexrender/pictures/06e062eac5e7607226ab87b59445e223.png)
![Image](http://marris.free.fr/img/2012-04-04_004156.jpg)
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Application : pour obtenir une table numérique de la fonction de répartition associée à la Loi Normale centrée réduite, telle qu'évoquée ici, voilà :
*** Pour masquer/découvrir le code Asymptote qui a permis de créer la figure, il faut cliquer dessus. ;-) ***
- CODE ASYMPTOTE de la figure ci-dessus : Tout sélectionner
- usepackage("amsmath");
- //// Valeurs susceptibles d'êtres modifiées :
- real x = 0;
- int subdivisions = 10,
- nbrlignes = 30;
- //// Lignes qui ne devraient pas être à modifier :
- defaultpen(fontsize(8pt)+.5green);
- real y, pas=.1/subdivisions;
- int nbrvaleurs = nbrlignes*subdivisions;
- size(40*subdivisions,10*(nbrlignes+2),IgnoreAspect);
- for(int k=0; k<subdivisions; ++k) label(format("%#.3f",k*pas),(k,subdivisions*2),blue);
- for(int k=0; k<nbrvaleurs; ++k){
- y=(1+erf(x/sqrt(2)))/2;
- label(format("%#.5f",y),(k%subdivisions,k%subdivisions-k));
- if(k/subdivisions==floor(k/subdivisions)) label(format("%#.1f",x),(-1,k%subdivisions-k),blue);
- x=x+pas;
- }
- label("Exemple : $\displaystyle
- \int_{-\infty}^{1,7+0,03}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{-\frac{t^{2}}{2}}dt\approx 0.95818$",
- truepoint(S),S,red);
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NB :
- Les exemples précédents atterriront vraisemblablement dans la sous-galerie des fonctions mathématiques.
- Le sujet est lancé... d'autres messages viendront à la suite de celui-ci sur le même thème de la Loi Normale. Bientôt...