A l'origine de ce message, un mail de Patrick Fradin (le créateur de l'excellent TeXGraph) sur la liste Syracuse pour attirer notre attention sur ce site :
http://images.math.cnrs.fr/Ringworld.html
et ce que cela lui a inspiré :
http://melusine.eu.org/syracuse/texgraph/exemples/hpavages/
Pour arriver à ce magnifique résultat, la technique n'est pas simple... si vous avez tenté de comprendre le premier lien
et donc Patrick nous a écrit un magnifique document explicatif :
http://dl.dropbox.com/u/7335679/pavages ... liques.pdf
... dont je n'ai encore lu que le tout début et m'a donné envie de réaliser une première figure, en lien avec son document, pour illustrer ce qu'est une droite hyperbolique.
*** Pour masquer/découvrir le code Asymptote qui a permis de créer la figure, il faut cliquer dessus. ;-) ***
- CODE ASYMPTOTE de la figure ci-dessus : Tout sélectionner
- size(300);
- import geometry;
- point pO=(0,0);
- real k=2;
- inversion inv=inversion(k,pO);
- point pA=(1,0), pB=(.5,-.5),
- iA=inv*pA, iB=inv*pB;
- circle c1=circle(inv),
- c2=circle(pA,pB,iA);
- draw(c1,linewidth(bp)+blue);
- draw(c2,linewidth(bp)+red);
- point[] uv=intersectionpoints(c1,c2);
- point u=uv[0], v=uv[1];
- line Ou=line(pO,false, u),
- Ov=line(pO,false, v);
- draw(pO--iA,1bp+dotted);
- draw(pO--iB,1bp+dotted);
- draw(Ou^^Ov,dashed);
- dot("$\Omega$",pO,SW);
- dot("$A$",pA,S,blue);
- dot("$A'$",iA,S,red);
- dot("$B$",pB,E,blue);
- dot("$B'$",iB,E,red);
- dot("$u$",u,SE,.5green);
- dot("$v$",v,NE,.5green);
- draw("$\sqrt{|k|}$",pO--pO+sqrt(abs(k))*dir(90),blue,Arrow());
- label("Cercle d'inversion de l'inversion de centre $\Omega$ et de rapport $k$",truepoint(N),N,blue);
Rappelons à propos de l'inversion :
Si désigne un espace affine euclidien, un point de et un réel non nul, alors, pour tout point de distinct de , il existe un unique point de , tel que :On appelle inversion de centre et de rapport , l'application de dans lui-même qui à associe sous les conditions précédentes.
- , et sont alignés ;
et aussi que :
- Le cercle d'inversion est le cercle de centre et de rapport est globalement invariant (invariant point par point lorsque ).
- Deux points et leurs images sont cocycliques, sur un cercle orthogonal au cercle d'inversion.
Le plus dur reste à faire.