Surface p-V-T d'un corps pur

[OG]

bonsoir

pas facile cette figure !
Question équation non linéaire (en dimension 1) c'est possible
http://asymptote.sourceforge.net/doc/Ma ... ctions-631
la méthode de Newton-Raphson (donc connaître et ) est implémentée.

O.G.

[GM]

Un essai (avec un problème)... que je n'ai pas le temps d'améliorer avant le weekend prochain.

Le problème : je crois qu'il se voit... et je n'ai pas encore compris pourquoi.

Les améliorations : tracer la courbe de coexistence... puis après tracer le faisceau de courbes dans l'espace.

[projetmbc]

Très parlant ton exemple.... Il est où...

[GM]

Très parlant ton exemple.... Il est où...

Il est là : j'essayais de le mettre directement sur le forum... mais il ne passe pas : cela m'a même planté le serveur.

Code : Tout sélectionner

unitsize(4cm,8cm);

import graph;

real t;
path Cf,Cg,Ch;

real xd=1/3+0.000001, xa=100,
       prec=.0001,
       diff_aires;
int  np=10000;
real a,b,c;


for(int i=-27; i<10; ++i){
    write(i);
    diff_aires=2*prec;
   t=1+i/100;
    real f(real x){return 8*t/(3*x-1)-3/x^2;}
    Cf=graph(f,xd,xa,n=np,Spline);
   if(t<1){
    Cg=subpath(Cf,dirtime(Cf,(1,0)),reltime(Cf,1));
    Cg=subpath(Cg,0,maxtimes(Cg)[1]);
       a=min(Cg).y;
      b=max(Cg).y;
      while(abs(diff_aires)>prec)
      {
           c=(a+b)/2;
         real[] zi=times(Cf,(0,c));
         if(zi.length!=3) {
           write("attention");
           break;
         }
         real g(real x){return f(x)-c;}
          diff_aires=simpson (g, point(Cf,zi[0]).x,point(Cf,zi[2]).x);
         if(diff_aires<0) b=c; else a=c;
      }
      real h(real x){return c;}
      path Ch=graph(h,xd,xa,n=2);
      real[] zi=times(Cf,(0,c));
      if(zi.length==3) Cf=firstcut(Cf,Ch).before--lastcut(Cf,Ch).after;
write(zi);
   }
   draw(Cf);
}   

xlimits(-.5,4.5,Crop);
ylimits(-.2,1.5,Crop);

xaxis(Label("$x$",position=EndPoint, align=SE),
      xmin=0, xmax=4.6,
      Ticks(scale(.7)*Label(),
            NoZero,
            Step=.5,step=.1,
            Size=2mm, size=1mm,
            pTick=black,ptick=gray),
      Arrow);

yaxis(Label("$y$",position=EndPoint, align=NE),
      ymin=-.1,ymax=1.55,
      Ticks(scale(.7)*Label(),
            NoZero,
            Step=0.5,step=.1,
            Size=2mm, size=1mm,
            pTick=black,ptick=gray),
      Arrow);
write("patienter encore un peu...");

2010-04-28_190016.png (53.73 Kio) Vu 7595 fois

[cjorssen]

Un essai (avec un problème)... que je n'ai pas le temps d'améliorer avant le weekend prochain.

Le problème : je crois qu'il se voit... et je n'ai pas encore compris pourquoi.

Les améliorations : tracer la courbe de coexistence... puis après tracer le faisceau de courbes dans l'espace.

J'avoue que je suis bluffé. Bon, pour l'instant, je n'ai pas bien compris ton code. Ce sera pour ce WE aussi. J'ai un peu modifié (noter les intervalles pour trouver les solutions numériques vL et vV dans fsolve) ce que je faisais en maple pour trouver le début et la fin du palier (c'est peut-être ça l'origine du problème ?).

Code : Tout sélectionner

> palier:=proc(temp) option remember; local vL,vV,pL,eq1,eq2;
> eq1:=subs(v_V=vV,v_L=vL,t=temp,palier_pression);
> eq2:=subs(v_V=vV,v_L=vL,t=temp,maxwell);
> fsolve({eq1,eq2},{vL,vV},{vL=0..1,vV=1..infinity});
> assign(%);
> [vL,vV,f(vL,temp)];
> end;

Avec cela, maple arrive à construire les paliers pour des "températures" t plus petites (testé jusqu'à t=.6).

Encore merci. Ça donne une très bonne base de travail (et plein de nouveaux trucs à découvrir !).

[cjorssen]

J'ai commencé à regarder et je ne comprends pas bien ce que font ces lignes

Code : Tout sélectionner

Cg=subpath(Cf,dirtime(Cf,(1,0)),reltime(Cf,1));
Cg=subpath(Cg,0,maxtimes(Cg)[1]);

Tu cherches une tangente horizontale avec dirtime(Cf,(1,0)) ?

--
Christophe

[GM]

J'ai commencé à regarder et je ne comprends pas bien ce que font ces lignes

Code : Tout sélectionner

Cg=subpath(Cf,dirtime(Cf,(1,0)),reltime(Cf,1));
Cg=subpath(Cg,0,maxtimes(Cg)[1]);

Tu cherches une tangente horizontale avec dirtime(Cf,(1,0)) ?

Exactement.
Je ne garde la partie du path que du point correspondant à la fin du path.
Puis ensuite, je réduis encore Cg à la partie croissante... pour savoir entre quelles valeurs extrêmes, je vais devoir trouver celle qui définit la droite donnant des aires égales avec la construction de Maxwel.

Aller jusqu'à définir cette partie du path en tant que nouveau path n'était pas obligatoire pour la méthode employée ensuite... mais c'était le début d'une autre méthode que j'ai abandonnée.
Attention le code n'est pas optimisé : c'est un truc vite fait.

[cjorssen]

Rebonjour,

J'ai repris ton code que j'ai commenté et j'ai un peu changé les notations pour les variables afin que cela soit plus "physique". J'espère que tu ne m'en voudras pas

Code : Tout sélectionner

unitsize(4cm,8cm);

import graph;

// t est la température réduite
real t;
// C_isotherme_VdW : isotherme de Van der Walls (conduisant pour t<1
// à des propriétés non physiques)
path C_isotherme_VdW;
// C_isotherme_Andrews : isotherme de Van der Walls corrigées
// (palier de liquéfaction)
path C_isotherme_Andrews;
// Cg et C_palier sont des courbes auxiliaires nécessaires au calcul
path Cg,C_palier;
// vmin et vmax sont les bornes du volume réduit utilisées pour la
// détermination du palier de liquéfaction (ne correspond pas forcément
// aux bornes de l'affichage définitif)
// On prend vmin très légèrement supérieur à 1/3 car sinon problème de
// définition de la pression réduite p (voir infra)
real vmin=1/3+0.000001;
real vmax=30;
// precision est la précision du calcul d'aire (Maxwell)
real precision=.0001;
// Variable auxiliaire pour le calcul d'aire
real diff_aires;
// nb_points est le nombre de points servant à obtenir C_isotherme_VdW
int  nb_points=1000;
// Variables auxiliaires
real a,b,c;

// Boucle sur différentes valeurs de la température réduite
for(int i=-27; i<10; ++i){
  t=1+i/100;
  write(t);
  // Équation de Van der Waals en coordonnées réduites
  real p(real v){return 8*t/(3*v-1)-3/v^2;}
  // La courbe représentant l'isotherme de Van der Waals est calculée
  C_isotherme_VdW=graph(p,vmin,vmax,n=nb_points,Spline);
  if(t>=1){
    // Si la température critique est supérieure à 1, le fluide de Van der
    // Waals est supercritique. Il ne subit pas de changement d'état.
    // L'isotherme d'Andrews est identique à l'isotherme de Van der Waals.
    C_isotherme_Andrews=C_isotherme_VdW;}
  else{
    // Sinon, il faut déterminer la position du palier de liquéfaction.
    // Ici, on utilise la construction de Maxwell : voir par exemple
    // www.lerepairedessciences.fr/sciences/agregation_fichiers/thermo/maxw.pdf
    //
    // Soit v1 le volume réduit corespondant au minimum
    // (tangente horizontale) de l'isotherme de Van der Waals.
    // Cg est l'isotherme de Van der Waals pour v > v1. 
    Cg=subpath(C_isotherme_VdW,
          dirtime(C_isotherme_VdW,(1,0)),
          reltime(C_isotherme_VdW,1));
    // Soit v2 le volume réduit correspondant au maximum de l'isotherme de
    // Van der Waals. Cg est l'isotherme de Van der Waals pour v1 < v < v2.
    Cg=subpath(Cg,0,maxtimes(Cg)[1]);
    // a est la pression réduite pour le volume v1 (le minimum de p)
    a=min(Cg).y;
    // b est la pression réduite pour le volume v2 (la maximum de p)
    b=max(Cg).y;
    // On initialise diff_aires à une valeur supérieure pour rentrer dans
    // la boucle while
    diff_aires=2*precision;
    while(abs(diff_aires)>precision)
      {
   // On amorce une boucle pour procéder par dichotomie afin
   // de trouver la pression réduite du palier de liquéfaction
   // donnant des aires égales compte tenu de la précision
   // demandée.
   c=(a+b)/2;
   // v_palier_inter_isotherme_VdW est un tableau donnant généralement
   // 3 valeurs de v correspondant à la valeur de la pression d'essai
   // du palier stockée dans c
   real[] v_palier_inter_isotherme_VdW=times(C_isotherme_VdW,(0,c));
   if(v_palier_inter_isotherme_VdW.length!=3) {
     // Problème...
     write("attention");
     break;
   }
   // Pour calculer l'aire de Maxwell, il faut recentrer les courbes
   // sur l'axe des abscisses. On retranche dans à la pression de Van
   // der Waals p(v) la pression d'essai du palier c.
   real g(real v){return p(v)-c;}
   // Méthode de simpson pour le calcul d'intégrale
   diff_aires=simpson(g,
            point(C_isotherme_VdW,
             v_palier_inter_isotherme_VdW[0]).x,
            point(C_isotherme_VdW,
             v_palier_inter_isotherme_VdW[2]).x);
   // Dichotomie
   if(diff_aires<0) b=c; else a=c;
      }
    // Construction du palier (la pression réduite de liquéfaction vaut c)
    real h(real v){return c;}
    // Deux points suffisent pour construire une droite
    path C_palier=graph(h,vmin,vmax,n=2);
    real[] v_palier_inter_isotherme_VdW=times(C_isotherme_VdW,(0,c));
    if(v_palier_inter_isotherme_VdW.length==3){
      C_isotherme_Andrews=firstcut(C_isotherme_VdW,C_palier).before
   -- lastcut(C_isotherme_VdW,C_palier).after;}
    write(v_palier_inter_isotherme_VdW);
  }
  draw(C_isotherme_Andrews);
}   

xlimits(-.5,4.5,Crop);
ylimits(-.2,1.5,Crop);

xaxis(Label("$x$",position=EndPoint, align=SE),
      xmin=0, xmax=4.6,
      Ticks(scale(.7)*Label(),
            NoZero,
            Step=.5,step=.1,
            Size=2mm, size=1mm,
            pTick=black,ptick=gray),
      Arrow);

yaxis(Label("$y$",position=EndPoint, align=NE),
      ymin=-.1,ymax=1.55,
      Ticks(scale(.7)*Label(),
            NoZero,
            Step=0.5,step=.1,
            Size=2mm, size=1mm,
            pTick=black,ptick=gray),
      Arrow);
write("patienter encore un peu...");

C'est vraiment très bien. Je vais pouvoir abandonner maple et travailler directement sur ce code asymptote pour la suite (il reste à bricoler pour le solide, solide-liquide et solide-gaz).

Encore merci

--
Christophe

[GM]

J'ai commencé à regarder et je ne comprends pas bien ce que font ces lignes

Code : Tout sélectionner

Cg=subpath(Cf,dirtime(Cf,(1,0)),reltime(Cf,1));
Cg=subpath(Cg,0,maxtimes(Cg)[1]);

Tu cherches une tangente horizontale avec dirtime(Cf,(1,0)) ?

Exactement.

J'ai rajouté des exemples ici.

J'ai repris ton code que j'ai commenté et j'ai un peu changé les notations pour les variables afin que cela soit plus "physique". J'espère que tu ne m'en voudras pas

Tu as bien eu raison.

[GM]

Le problème : je crois qu'il se voit... et je n'ai pas encore compris pourquoi.

J'ai eu le temps d'y regarder... et j'ai trouvé : c devenait négatif dans les cas qui posaient problème !

Il suffit de remplacer

Code : Tout sélectionner

a=min(Cg).y

par

Code : Tout sélectionner

a=max(min(Cg).y,.02);

et il sera alors possible de commencer la boucle à i=-50 au moins.

2010-04-29_205844.png (26.87 Kio) Vu 7557 fois