ASY-Forum

Hello,

Le code suivant devrait si je ne m'abuse afficher un vecteur tangent + un vecteur normal en plusieurs points (je sais qu'il y a des exemples de ça dans les superbes docs des habitués de ce forum, mais j'aimerais comprendre pourquoi moi je me goure !). Or on peut remarquer qu'il y a comme un décalage : les vecteurs tangents sont pas toujours super super tangents, et les vecteurs normaux de même.

On pourrait croire que la formule ignoble pour les vecteurs normaux est responsable d'erreurs de calculs, mais en fait le vecteur normal me semble effectivement orthogonal au vecteur "tangent", le problème c'est que c'est ce dernier qui n'est pas vraiment tangent. Comme si le vecteur était juste attaché au mauvais endroit.

Vous voyez ? Hm... Je suis pas sûr que je suis très clair, n'hésitez pas à me le dire, et déjà merci pour votre aide.

Figure asymptote 0666ecc8971708760b82c11c17c0f681
*** Pour masquer/découvrir le code Asymptote qui a permis de créer la figure, il faut cliquer dessus. ;-) ***

CODE ASYMPTOTE de la figure ci-dessus : Tout sélectionner

import graph;
size(6cm,6cm);
 
real x(real t) { return t^2*cos(t); }
real y(real t) { return t^2*sin(t); }
real min = -1, max = 1;
 
 
path p = graph(x,y,min,max);
draw(p);
 
// vecteurs normaux (formule obtenue de manière automatisée...)
picture vf = vectorfield(new path(real t) {
    real t = interp(min,max,t);
    //    dot((x(t),y(t)));
    return (0,0)--unit(((t^2*sin(t) - 2*t*cos(t))*((t^2*cos(t) + 4*t*sin(t) - 2*cos(t))*(t^2*sin(t) - 2*t*cos(t)) - (t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))*(t^2*sin(t) - 4*t*cos(t) - 2*sin(t)))/(abs(t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))^2 + abs(t^2*sin(t) - 2*t*cos(t))^2)^(3/2) - (t^2*cos(t) + 4*t*sin(t) - 2*cos(t))/sqrt(abs(t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))^2 + abs(t^2*sin(t) - 2*t*cos(t))^2), -(t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))*((t^2*cos(t) + 4*t*sin(t) - 2*cos(t))*(t^2*sin(t) - 2*t*cos(t)) - (t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))*(t^2*sin(t) - 4*t*cos(t) - 2*sin(t)))/(abs(t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))^2 + abs(t^2*sin(t) - 2*t*cos(t))^2)^(3/2) - (t^2*sin(t) - 4*t*cos(t) - 2*sin(t))/sqrt(abs(t^2*cos(t) + 2*t*sin(t))^2 + abs(t^2*sin(t) - 2*t*cos(t))^2)));
  },p, 10,red+opacity(0.3));
add(vf);
 
// vecteurs tangents
picture vf = vectorfield(new path(real t) {
    real t = interp(min,max,t);
    //    dot((x(t),y(t)));
    return (0,0)--unit((2t*cos(t)-t^2*sin(t),t^2*cos(t)+2t*sin(t)));
  },p, 10,red+opacity(0.3));
add(vf);
 
 
axes("$x$","$y$",Arrow);

Bonsoir,

je ne connais pas vectorfield, ne suis pas sûr qu'il est adapté... et il ne me serait pas venu à l'idée de l'utiliser.

Quand on me parle de tangente à un path, moi je pense à dir.

Figure asymptote 73d724505a01e81c38c6ddd902d0c72c
*** Pour masquer/découvrir le code Asymptote qui a permis de créer la figure, il faut cliquer dessus. ;-) ***

CODE ASYMPTOTE de la figure ci-dessus : Tout sélectionner

import graph;
size(6cm,6cm);
real x(real t) { return t^2*cos(t); }
real y(real t) { return t^2*sin(t); }
int n=300;
path p = graph(x,y,-1,1,n);
draw(p);
for (real t=0; t <= n; t += n/10){
  path ftan=point(p,t)--point(p,t)+dir(p,t)/2,
       fnor=point(p,t)--point(p,t)+rotate(90)*dir(p,t)/2;
  draw(Label(format("%f",t),EndPoint, fontsize(8pt)),ftan,red, Arrow);
  draw(fnor,blue, Arrow);
}  
axes("$x$","$y$",Arrow);

Bon sang mais c'est bien sûr : en relisant ce que fait dir(), je comprends mon erreur : le temps 't' passé par vectorfield à son premier argument (en fait, la distance entre le début de la courbe et le point considéré [*]) n'a rien à voir avec le paramètre t de *ma* paramétrisation (x(t),y(t)), et ma tentative d'interpoler via interp(min,max,t) n'y change rien. En l'écrivant j'aurais dû me dire que c'était bizarre...

Voici le code corrigé. Et merci pour ta version, qui est très claire !

Figure asymptote bbcd5f22e8a3f5731eb8523a5e359dbf
*** Pour masquer/découvrir le code Asymptote qui a permis de créer la figure, il faut cliquer dessus. ;-) ***

CODE ASYMPTOTE de la figure ci-dessus : Tout sélectionner

import graph;
size(6cm,6cm);
 
real x(real t) { return t^2*cos(t); }
real y(real t) { return t^2*sin(t); }
real min = -1, max = 1;
 
 
path p = graph(x,y,min,max,500);
draw(p);
 
// vecteurs normaux
picture vf = vectorfield(new path(real t) {
    real t = reltime(p,t);
    return (0,0)--(I*dir(p,t));
},p, 6,blue+opacity(0.3));
add(vf);
 
// vecteurs tangents
picture vf = vectorfield(new path(real t) {
    real t = reltime(p,t);
    return (0,0)--dir(p,t);
},p, 6,red+opacity(0.3));
add(vf);
 
 
axes("$x$","$y$",Arrow);

[*] edit : plus précisément la fraction (entre 0 et 1) de la distance par rapport à la distance totale.

Je voulais juste signaler que si on s'intéresse spécifiquement à la direction de l'accélération, il faut être prudent et ne pas prendre I*dir(...) comme vecteur normal : cela ne marche pas si la courbe est orientée dans le "mauvais" sens. Voici une version qui fonctionne même si on modifie le sens de la courbe :

Figure asymptote 1d5abf23841b13c3ca8fc98037d9d9b1
*** Pour masquer/découvrir le code Asymptote qui a permis de créer la figure, il faut cliquer dessus. ;-) ***

CODE ASYMPTOTE de la figure ci-dessus : Tout sélectionner

import graph;
size(6cm,6cm);
 
real x(real t) { return t^2*cos(t); }
real y(real t) { return t^2*sin(t); }
real min = -1, max = 1;
 
path p = graph(x,y,min,max,500);
 
draw(p);
 
pair normal(path p,real t) {
  real eps = 1;
  real before = t-eps, after = t+eps;
  if (before <= 0) { before = t; };
  if (after >= length(p)) { after = t; };
  return unit(dir(p,after) - dir(p,before));
}
 
// vecteurs normaux
picture vf = vectorfield(new path(real t) {
real t = reltime(p,t);
return (0,0)--normal(p,t)/2;
},p, 6,blue+opacity(0.3));
add(vf);
 
// vecteurs tangents
picture vf = vectorfield(new path(real t) {
real t = reltime(p,t);
return (0,0)--dir(p,t)/2;
},p, 6,red+opacity(0.3));
add(vf);
 
axes("$x$","$y$",Arrow);

ASY-Forum

vecteurs tangent, pas très tangent

vecteurs tangent, pas très tangent

Re: vecteurs tangent, pas très tangent

Re: vecteurs tangent, pas très tangent

Re: vecteurs tangent, pas très tangent